模X具有非零的狄拉克上同调，则X的无穷小特征由其狄拉克上同调完全决定。这个猜想已经被黄进嵩和Pandzic证明。事实上，上面的结果可以推广到更一般的齐性空间G/H，对于Kostant定义的cubicDirac上同调也有类似结论。”
“沃根关于狄拉克上同调的猜想，刻画了Dirac算子的一个深刻的代数性质，它进一步刻画了表示的无穷小特征，这为酉表示的研究提供了新的工具。例如，由此可导出更精细的狄拉克不等式，不可约酉表示的几何构造也可以简化。同时，狄拉克上同调又与李代数上同调密切相关，在很多情形中，狄拉克上同调可以简化李代数上同调的计算。目前，狄拉克上同调的应用日益广泛，甚至超出了半单李群表示的范围。”
“我们知道，李群的每个余伴随轨道上都有不变辛结构，而轨道方法对于研究幂零李群的表示非常有效。另外，辛空间中的Weyl代数与上面狄拉克算子定义中用到内积空间的Cillford代数有很强的相似性。因此，在这一领域，我们可以提出以下几个问题，比如如果齐性空间G/H上存在不变辛结构，是否也能给出辛狄拉克算子的一个代数化的定义？是否可以利用辛狄拉克算子来构造实半单李群的酉表示？辛狄拉克算子与余伴随轨道是否有联系?目前在数学界，这些问题的研究还处于起步阶段，艾艾，未来两年内，我希望你能在这一领域有所成就。”
艾艾苦着脸点了点头，上学期庞学林给他们布置作业的时候，她还感觉难度什么都可以接受，稍稍努把力，一学期时间还是能够解决的。
没想到到了这学期，庞学林上来就给他们放了大招。
她对狄拉克算子压根没多少研究，单单想搞明白这些问题，恐怕就得花费一周以上的时间，更不用说解决庞学林所说的这些问题了。
不过还好，庞学林只要求他们通过研究这个问题写出一篇高水平的论文来，倒也没有强制要求解决这些问题。
说完艾艾的任务，庞学林将目光转向哈尔克，微笑道：“哈尔克，Cherlin-Zilber猜想，你应该知道的吧？”
哈尔克苦笑着点了点头，说道：“师傅，这个猜想是由和BorisZilber于30年前提出的有关无限单群分类的一个猜想：即一个Morley秩为有限的ω–稳定单群一定是某个代数封闭域上的一个代数群。这个猜想是模型论研究与代数群研究结合部的一个非常重要的问题。”
庞学林满意地
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